文都教育 毛纲源 考研数学历年真题分题型详解 数学一 下载 pdf 百度网盘 epub 免费 2025 电子书 mobi 在线

　　本书是作者在*制定的考研数学“考试大纲”的指导下，依据考试大纲的次序,按试题考点内容分章,且将历年同一考点的试题归纳在一起,分题型讲解,有助于考生复习时,掌握历年试题的核心内容,便于发现考研数学试题总是反复出现共性问题,考生也能从共性问题中发现命题规律和命题趋势，找出考点之间的有机联系，明确各部分考点内容的重点、难点。

第1部分高 等 数 学

　第1章函数、极限、连续

　　考点1.1.1函数的概念及其性质

　　　题型1.1.1.1求分段函数的复合函数

　　　题型1.1.1.2判别或证明函数的奇偶性、周期性

　　考点1.1.2函数极限存在性的判定

　　　题型1.1.2.1数列极限存在性的判定

　　　题型1.1.2.2函数极限存在性的判别及其极限的求法

　　考点1.1.3求函数极限

　　　题型1.1.3.1求00型或∞-∞型未定式极限

　　　题型1.1.3.2求∞-∞型未定式极限

　　　题型1.1.3.3求幂指函数型（00型、∞0型、1∞型）未定式极限

　　考点1.1.4数列极限的证法和求法

　　　题型1.1.4.1由递推关系式定义的数列极限存在性的证明及其极限的求法

　　　题型1.1.4.2求数列极限

　　　题型1.1.4.3求某些积和式的极限

　　考点1.1.5无穷小量或无穷大量的比较

　　　题型1.1.5.1无穷小量阶的比较

　　　题型1.1.5.2无穷大量阶的比较

　　考点1.1.6已知一极限，确定待定常数、待定函数或另一待定极限

　　　题型1.1.6.1已知极限式的极限反求其所含的未知参数

　　　题型1.1.6.2已知含未知函数的一极限，求含该函数的另一函数极限

　　考点1.1.7讨论函数的连续性及间断点的类型

　　　题型1.1.7.1讨论函数的连续性

　　　题型1.1.7.2判别函数f(x)的间断点的类型

　第2章一元函数微分学

　　考点1.2.1导数定义的应用

　　　题型1.2.1.1讨论函数在某点的可导性

　　　题型1.2.1.2利用导数定义求函数在某点的导数（值）

　　　题型1.2.1.3讨论分段函数的可导性及其导数的求法

　　　题型1.2.1.4利用导数定义讨论函数性质

　　考点1.2.2讨论含值函数的可导性

　　　题型1.2.2.1讨论值函数|f(x)|的可导性

　　　题型1.2.2.2讨论函数f(x)=|φ(x)|g(x)的可导性

　　考点1.2.3求一元函数的导数

　　　题型1.2.3.1求隐函数的导数

　　　题型1.2.3.2求反函数的导数

　　　题型1.2.3.3求由参数方程所确定的函数的导数

　　　题型1.2.3.4求某些简单函数的高阶导数

　　考点1.2.4利用微分中值定理证明中值等式

　　　题型1.2.4.1利用罗尔定理证明中值等式

　　　题型1.2.4.2利用拉格朗日中值定理证明中值等式

　　　题型1.2.4.3求中值的极限位置

　　考点1.2.5利用导数和极限讨论函数的性态

　　　题型1.2.5.1判定函数的单调性

　　　题型1.2.5.2求函数的极值

　　　题型1.2.5.3利用极限式判定函数是否取得极值

　　　题型1.2.5.4利用二阶微分方程讨论函数是否取得极值，其曲线是否有拐点

　　　题型1.2.5.5求曲线的凹凸区间及拐点

　　　题型1.2.5.6求曲线的渐近线

　　　题型1.2.5.7确定函数方程存在实根及其个数

　　考点1.2.6利用导数证明函数不等式

　　　题型1.2.6.1已知F(a)≥0（或F(b)≥0），证明x>a(或x时F(x)>0

　　　题型1.2.6.2证明含有或可化为函数两点值之差的不等式

　　考点1.2.7导数的几何应用

　　　题型1.2.7.1求平面曲线y=f(x)的切线和法线方程

　　　题型1.2.7.2求由F(x,y)=0所确定的曲线y=y(x)的切线和法线方程

　　　题型1.2.7.3求曲线x=x(t)，y=y(t)的切线与法线

　　　题型1.2.7.4求曲线r=r(θ)的切线与法线方程

　　　题型1.2.7.5求解与两曲线相切的有关问题

　第3章一元函数积分学

　　考点1.3.1原函数与不定积分的概念及其计算

　　　题型1.3.1.1已知某函数的导数，求其原函数

　　　题型1.3.1.2计算不定积分

　　考点1.3.2计算定积分

　　　题型1.3.2.1用分部积分法计算定积分

　　　题型1.3.2.2用换元法计算定积分

　　　题型1.3.2.3利用定积分的重要特性简化计算定积分

　　　题型1.3.2.4计算被积函数是抽象函数导数或被积函数是导数已知的积分

　　　题型1.3.2.5比较和估计定积分的大小

　　考点1.3.3变 限 积 分

　　　题型1.3.3.1变限定积分函数的性质应用

　　　题型1.3.3.2求含变限积分的函数导数

　　　题型1.3.3.3求变换积分函数的定积分

　　　题型1.3.3.4讨论变限积分函数的性态

　　　题型1.3.3.5求分段函数的变限变分

　　考点1.3.4计算反常积分

　　　题型1.3.4.1计算无穷区间上(无穷限)的反常积分

　　　题型1.3.4.2计算无界函数的反常积分

　　　题型1.3.4.3求反常积分的极限值

　　考点1.3.5定积分的应用

　　　题型1.3.5.1已知曲线方程，求其所围平面图形的面积、旋转体体积

　　　题型1.3.5.2求旋转体的侧（表）面积

　　　题型1.3.5.3计算平面曲线的弧长

　　　题型1.3.5.4定积分在物理上的应用

　第4章向量代数和空间解析几何

　　考点1.4.1向 量 运 算

　　　题型1.4.1.1向量的数量积、向量积、混合积的运算

　　考点1.4.2求平面方程或直线方程

　　　题型1.4.2.1求平面方程

　　　题型1.4.2.2求平面、直线间的位置关系

　　　题型1.4.2.3求点到直线或点到平面的距离

　　考点1.4.3求旋转曲面方程

　　　题型1.4.3.1求坐标面上的曲线绕坐标轴旋转所得旋转曲面的方程

　　　题型1.4.3.2求空间曲线绕坐标轴旋转所成的旋转曲面方程

　　考点1.4.4求解空间解析几何与线性代数相结合的综合题

　　　题型1.4.4.1将确定平面或直线的位置关系转化为方程组的解或矩阵的秩来判定

　　　题型1.4.4.2将二次曲面正交变换的有关问题转化为二次型标准方程的有关问题求解

　第5章多元函数微分学

　　考点1.5.1多元函数微分学中若干基本概念及其联系

　　　题型1.5.1.1多元函数微分学中的几个基本概念

　　　题型1.5.1.2二元函数在某点极限存在、连续、可偏导及可微的关系

　　考点1.5.2计算多元函数的偏导数和全微分

　　　题型1.5.2.1求多元显函数的偏导数及其在一点取值的计算

　　　题型1.5.2.2求抽象复合函数的偏导数

　　　题型1.5.2.3利用隐函数存在性定理确定隐函数

　　　题型1.5.2.4求隐函数的偏导数

　　　题型1.5.2.5求二元函数的二阶混合偏导数

　　　题型1.5.2.6求含变限积分的二元函数的偏导数

　　　题型1.5.2.7求二元函数的全微分

　　　题型1.5.2.8求在变换下方程的变形

　　　题型1.5.2.9求方向导数和梯度

　　考点1.5.3多元函数微分学在几何上的应用

　　　题型1.5.3.1已知空间曲线的方程，求其在一点处的切线和法平面方程

　　　题型1.5.3.2已知空间曲面方程，求其在一点处内切平面或法线方程

　　考点1.5.4多元函数的极值与值

　　　题型1.5.4.1二元函数无条件极值的判别及其求法

　　　题型1.5.4.2求二（多）元函数的条件极值

　　　题型1.5.4.3求二元函数的值和小值

　第6章多元函数积分学

　　考点1.6.1根据积分区域和被积函数的特点计算二重积分

　　　题型1.6.1.1交换二次积分的积分次序

　　　题型1.6.1.2转换坐标系计算二次积分

　　　题型1.6.1.3计算积分区域具有对称性、被积函数（或其子函数）具有奇偶性的二重积分

　　　题型1.6.1.4计算圆域或部分圆域上的二重积分

　　　题型1.6.1.5计算由直线围成的积分区域上的二重积分

　　　题型1.6.1.6计算被积函数分区域给出的二重积分

　　考点1.6.2三 重 积 分

　　　题型1.6.2.1利用对称性、奇偶性简化三重积分计算

　　　题型1.6.2.2恰当选择坐标系计算三重积分

　　　题型1.6.2.3三重积分的应用

　　考点1.6.3计算曲线积分

　　　题型1.6.3.1计算对弧长的曲线积分（类曲线积分）

　　　题型1.6.3.2利用对称性与奇偶性简化平面第二类曲线积分的计算

　　　题型1.6.3.3第二类平面曲线积分的算法

　　　题型1.6.3.4求解曲线积分与路径无关的有关问题

　　　题型1.6.3.5计算第二类空间曲线积分(对坐标的空间曲线积分)

　　考点1.6.4计算曲面积分

　　　题型1.6.4.1求类曲面积分

　　　题型1.6.4.2计算第二类曲面积分

　　考点1.6.5曲线、曲面积分的应用

　　　题型1.6.5.1曲线积分、曲面积分在几何上的应用

　　考点1.6.6计算向量场的散度或旋度

　　　题型1.6.6.1求梯度与求散度相结合

　第7章级数

　　考点1.7.1数项级数敛散性的判别与证明

　　　题型1.7.1.1判别正项级数的敛散性

　　　题型1.7.1.2判别交错级数的敛散性

　　　题型1.7.1.3判别（证明）任意项级数（变号级数）的敛散性

　　　题型1.7.1.4判别一般项为相邻两项代数和的数项级数的敛散性

　　　题型1.7.1.5已知一抽象级数的敛散性，讨论与其相关数项级数的敛散性

　　　题型1.7.1.6已知一般项有极限，证明该级数的敛散性

　　　题型1.7.1.7证明数项级数的敛散性

　　考点1.7.2幂级数的收敛半径及收敛域的求法

　　　题型1.7.2.1求不缺项的幂级数的收敛半径和收敛域

　　　题型1.7.2.2求缺项幂级数的收敛半径和收敛域

　　考点1.7.3求幂级数的和函数

　　　题型1.7.3.1求∞n=1P(n)xn的和函数，其中P(n)为n的多项式

　　　题型1.7.3.2求∞n=01Q(n)xn的和函数，Q(n)为n的多项式

　　　题型1.7.3.3证明幂级数的和函数满足微分方程并解此方程求其和函数

　　　题型1.7.3.4求数项级数（数值级数）的和

　　考点1.7.4将简单函数间接展成幂函数及其应用

　　　题型1.7.4.1求反三角函数的幂级数的展开式

　　　题型1.7.4.2将对数函数展成幂级数

　　　题型1.7.4.3将有理分式函数展成幂级数

　　　题型1.7.4.4幂级数展开式的两个简单应用

　　考点1.7.5傅里叶级数

　　　题型1.7.5.1将周期函数展开成周期为2π的傅里叶级数

　　　题型1.7.5.2将周期函数展开成周期为2l的傅里叶级数

　　　题型1.7.5.3求傅里叶系数

　　　题型1.7.5.4求傅里叶级数的和函数在某点的值

　第8章常微分方程

　　考点1.8.1求解一阶线性微分方程

　　　题型1.8.1.1求解可分离变量的微分方程

　　　题型1.8.1.2求解齐次方程

　　　题型1.8.1.3求解一阶线性方程

　　　题型1.8.1.4求解伯努利方程

　　　题型1.8.1.5求解方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0

　　考点1.8.2求解高阶常系数线性微分方程

　　　题型1.8.2.1利用解的结构和性质求解微分方程

　　　题型1.8.2.2求解可降阶的微分方程

　　　题型1.8.2.3确定二阶常系数非齐次微分方程的特解形式

　　　题型1.8.2.4求解二阶常系数非齐次线性方程

　　　题型1.8.2.5欧拉方程的解法

　　　题型1.8.2.6求在变量代换下微分方程的变形，并求其解

　　考点1.8.3已知微分方程的通（特）解反求该微分方程

　　　题型1.8.3.1已知微分方程的通（特）解,反求该齐次微分方程

　　　题型1.8.3.2已知微分方程的通（特）解，反求该非齐次方程

　　考点1.8.4微分方程的应用

　　　题型1.8.4.1微分方程在几何上的应用

　　　题型1.8.4.2微分方程在物理上的应用

第2部分线 性 代 数

　第1章行列式

　　考点2.1.1计算数字型行列式

　　　题型2.1.1.1计算行（列）和相等的行列式

　　　题型2.1.1.2计算非零元素（主要）在一条或两条线上的行列式

　　　题型2.1.1.3计算非零元素主要在平行于主对角线的三条线上的行列式

　　　题型2.1.1.4计算非零元素仅在主、次对角线上的行列式

　　考点2.1.2计算抽象矩阵的行列式

　　　题型2.1.2.1计算抽象乘积矩阵的行列式

　　　题型2.1.2.2已知一方阵的列向量组可由另一方阵的列向量组线性表示，又已知其中一矩阵的行列式，求另一矩阵的行列式

　　　题型2.1.2.3已知矩阵方程，求其中一矩阵的行列式的值

　　　题型2.1.2.4利用秩、特征值、相似矩阵等计算行列式

　　　题型2.1.2.5计算与伴随矩阵有关的矩阵行列式

　　　题型2.1.2.6证明方阵的行列式等于0或不等于0

　　考点2.1.3克拉默法则的应用

　　　题型2.1.3.1利用克拉默法则求方程组AX=b的解或判定AX=0只有零解

　　　题型2.1.3.2已知方程组AX=0只有零解，或有非零解，其中A为方阵，

　　　确定待求常数或秩(A),或|A|

　第2章矩阵

　　考点2.2.1矩阵运算

　　　题型2.2.1.1利用矩阵乘法的结合律，计算乘积矩阵

　　　题型2.2.1.2计算方阵的高次幂

　　　题型2.2.1.3证明抽象矩阵可逆，并求其逆矩阵的表示式

　　　题型2.2.1.4求元素已知的矩阵的逆矩阵

　　考点2.2.2求解与伴随矩阵有关的问题

　　　题型2.2.2.1计算与伴随矩阵有关的矩阵行列式

　　　题型2.2.2.2求与伴随矩阵有关的矩阵的逆矩阵

　　　题型2.2.2.3求与伴随矩阵有关的矩阵的秩

　　　题型2.2.2.4求伴随矩阵的表达式

　　考点2.2.3求矩阵的秩

　　　题型2.2.3.1求数字型矩阵的秩

　　　题型2.2.3.2求抽象矩阵的秩

　　　题型2.2.3.3已知矩阵及其秩的信息，求其待定常数或其所满足的关系

　　考点2.2.4求解矩阵方程

　　　题型2.2.4.1求解可化为系数矩阵可逆的矩阵方程

　　　题型2.2.4.2求解系数矩阵不可逆或不能（不易）化为式（2.2.4.1）中类型的矩阵方程

　　考点2.2.5求解与初等变换有关的问题

　　　题型2.2.5.1用初等矩阵表示矩阵的初等变换

　　　题型2.2.5.2利用初等矩阵及其性质表示变换前或变换后的矩阵或

　　　其运算后的矩阵及其性质

　　　题型2.2.5.3讨论与等价矩阵有关的问题

　第3章向量

　　考点2.3.1向量的线性组合与线性表示

　　　题型2.3.1.1讨论向量β能否用已知向量坐标的向量组线性表示

　　　题型2.3.1.2讨论向量能否用抽象向量组(向量坐标未知)线性表示

　　　题型2.3.1.3求解一组向量由另一组向量线性表出的有关问题

　　　题型2.3.1.4判别或证明两向量组等价或不等价.

　　考点2.3.2向量组的线性相关性

　　　题型2.3.2.1判定（证明）向量组的线性相关性

　　　题型2.3.2.2已知一向量组线性无关，判定其线性组合的向量组的线性相关性

　　　题型2.3.2.3证明向量组线性无关

　　考点2.3.3求向量组的极大线性无关组和向量组的秩

　　　题型2.3.3.1求向量组的极大线性无关组

　　　题型2.3.3.2求向量组的秩

　　考点2.3.4求解向量空间的有关问题

　　　题型2.3.4.1了解向量空间、子空间、解空间、基底、维数及坐标等概念

　　　题型2.3.4.2求解空间的标准正交基（规范正交基）

　　　题型2.3.4.3求过渡矩阵

　　　题型2.3.4.4求向量在某组基下的坐标

　第4章线性方程组

　　考点2.4.1判定线性方程组解的情况

　　　题型2.4.1.1判定齐次线性方程组解的情况

　　　题型2.4.1.2判定非齐次线性方程组解的情况

　……

附录

　　毛纲源教授，毕业于武汉大学，留校任教，后调入武汉工业大学（现合并为武汉理工大学）担任数学物理系系主任，在高校从事数学教学与科研工作40余年，除出版多部专著和发表数十篇专业论文外，还发表10余篇考研数学论文。他主讲微积分、线性代数、概率论与数理统计等课程。理论功底深厚，教学经验丰富，思维独特。曾多次受邀在各地主讲考研数学，得到学员的广泛认可和一致好评：“知识渊博，讲解深入浅出，易于接受”“解题方法灵活，技巧独特，辅导针对性极强”“对考研数学的出题形式、考试重点难点了如指掌，上他的辅导班受益匪浅”……同样，他所编著的数十本考研辅导书籍也受到读者的极高评价，认为是“目前市面辅导书中解题归纳*的书”“选题不偏不怪，方法全面”，甚至被称为“神书”。  

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编辑推荐

　　【解题思路】指引解题方向    获得解题捷径

　　【一题多解】扩大考生视野   提升应试能力

　　【考查知识点】了解考试重点   把握命题核心

　　【错解分析】 远离解题误区   轻取考研高分

前言

　　前言

　　自1987年全国工学、经济学硕士研究生入学考试实行统考以来已有28载.这28年的考研试题是考生了解、分析和研究全国硕士研究生入学考试直接、宝贵的手资料，也是命题组专家们的智慧结晶.而拥有一套内容丰富、题型全面、讲解详尽的历届数学真题分类精解图书，则是广大考生的殷切期盼.

　　本书严格按照《全国硕士研究生入学统一考试数学一考试大纲》的要求编写，对历年(2001—2015)考研真题逐题给出详细解答，且绝大部分真题给出了一题多解.这就是真题精解的含义.给出一题多解有利于考生通晓基本考点，熟悉各考点之间的有机联系，促成各考点融会贯通.因而有利于综合提高考生的应试能力.

　　本书有很多试题的解法是作者在从事数学教学和考研数学辅导班的实践中研究、总结出来的，其中有些试题的解法比标准答案的解法更简捷.

　　本书把历年考研数学一试题依据统一考试大纲的次序，按试题考点内容分章，且将历年同一考点的试题归纳在一起，分题型讲解，这样便于考生复习.复习时，只要认真分析、了解、消化和掌握历年试题的核心内容，便能发现考研数学试题总是反复出现共性问题，考生也能从这些共性问题中发现命题规律和命题趋势，找出考点之间的有机联系，明确各部分考点内容的重点、难点.

　　本书具有下述特点.

　　1. 一题多解、内容丰富

　　对每一道真题，首先给出解题思路，介绍该题应如何下手，以提高考生的解题能力.

　　对绝大多数考题都给出一题多解，以帮助考生扩大视野，有利于考生熟悉各考点之间的有机联系，促使各考点融会贯通，提高考生对考点理解的深度与广度，从而综合提高考生的应试能力，有利于考研数学成绩的提高.

　　对于考生的答题错误，还给出错解分析，帮助考生分析错因，使其引以为戒，远离解题误区.

　　为了帮助备考数学一的考生更全面地了解与考点相关内容的命题情况，本书还精选了数学二、数学三及原数学四相关内容的典型考题，并给出解答，同时也精选了2001年（含）以前数学一相关内容的典型考题，并给出了解答，供备考数学一的考生复习之用.（这些考题未标出年份及数学二或数学三）.

　　2. 题型细分，有利于提高应试能力

　　本书按考点对历年真题分类，对各类题型进行详细归纳和总结，给出了各个题型的解题思路、方法和技巧，使考生能举一反三、触类旁通，从而提高应试能力.

　　此外，通过“考点—题型—真题—解题思路—精解（一题多解）—考查知识点”这一过程的学习，使备考人员可以了解到每一考点中已考过的题型，即这种题型考过什么样的题目，常与哪些知识点联合命题，从哪个角度命题，等等，从而使备考人员更好、更快地掌握命题重点和规律，快速地提高应试人员的解题能力.

　　3. 真题解答详尽，适于自学

　　编写此书时，在理论推导和文字叙述等方面尽量做到由浅入深，易于接受，便于自学.

　　本书给备考数学一的考生提供了锻炼自己解题能力和检验自己数学水平的机会.笔者建议阅读本书前应先认真阅读数学考试大纲，以明确数学一考试的有关要求，接着再阅读有关教材和参考书.在这里特向读者推荐由本人编写的《考研数学常考题型解题方法技巧归纳（数学一）》.该书对考试大纲中所要求的基本概念、基本定理和基本计算公式都作了全面介绍.对各类题型的解题思路、方法和技巧进行了归纳和总结，复习完后再来看本书以检测自己的水平，建议考生将本书中的全部试题做两到三遍，直到对所有题一看就能熟练、正确地解答出来.

　　历年的考研数学一的试题在附录中给出，供考生自测和查阅之用，其精解在正文的相应位置全部标明.

　　本书在编写过程中由于时间紧、任务重，加上水平有限，难免有许多疏漏之处，敬请广大读者和专家、同行不吝赐教.

　　预祝考生复习顺利，考研成功，圆入名校之梦.

　　毛纲源

　　于武汉理工大学

　　2015年4月